解方程 (1 + x) 的 10 次方减去 10.7347x 等于 1。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有项移到一边，先把那个白送的根找出来。 记

   $f(x)=(1+x)^{10}-10.7347x-1$

   则 $f(0)=1-0-1=0$，所以 $x=0$ 是一个精确解 —— 不需要任何数值方法。这种形状的方程（增长因子的期数次幂减去一个线性支付项）总带着这个平凡根，真正有意思的是另一个交点。

2. 2

   求导，看清函数形状。

   $f'(x)=10(1+x)^9-10.7347,\qquad f''(x)=90(1+x)^8>0\ \ (x>-1)$

   由于 $f''>0$，$f$ 在 $(-1,\infty)$ 上严格凸，所以它最多只能穿过零点两次。另外 $f'(0)=10-10.7347=-0.7347<0$：曲线经过原点时仍在下降。

3. 3

   定位唯一的极小点。 解 $f'(x)=0$：

   $(1+x)^9=1.07347\quad\Rightarrow\quad x=1.07347^{1/9}-1=0.0079085$

   该处的函数值是 $f(0.0079085)=-0.0029357$，确实在零以下。（常被引用的 $-0.000291$ 这个极小值数字小了一个数量级。）

4. 4

   数一数根的个数。 在 $(-1,\,0.0079085)$ 上函数从 $f(-1^{+})=9.7347$ 单调下降到 $-0.0029357$，恰好穿越零点一次 —— 那就是 $x=0$。在 $(0.0079085,\infty)$ 上它从 $-0.0029357$ 递增到 $+\infty$，又恰好穿越一次。所以实根恰有两个，且没有负根（$f(-0.01)=+0.0117$ 印证了 $0$ 左侧的符号）。

5. 5

   给第二个根定区间再逐步逼近。 $f(0.015)=-0.00048$，$f(0.016)=+0.00027$，所以根落在这两者之间。用二分法或牛顿法得到

   $x=0.01565489$

   精确到八位小数 —— 不是 $0.015845$，在那一点 $f=+1.5\times 10^{-4}$，明显还是正的。

6. 6

   直接代入验证。 $(1.0156549)^{10}=1.16805066$，而 $1+10.7347(0.0156549)=1.16805066$。两者八位小数内一致，所以解集是 $x=0$ 与 $x\approx 0.0156549$。