分解因式 x¹⁰⁵ − 1。

Step-by-step solution

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   先注意：这里指数的奇偶性无关紧要。 与幂之和不同，幂之差 $x^{n}-1$ 对任何正整数 $n$ 都以 $x-1$ 为因式。因式定理一行就能说明原因：代入 $x=1$ 得 $1^{105}-1=0$ ✓，跟指数是多少毫无关系。

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   套用幂差公式。 取 $a=x$、$b=1$、$n=105$：

   $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   余因式里的符号全是正号 —— 这正是它与幂和情形在结构上的区别，后者的符号是交替的。

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   写出分解式。

   $x^{105}-1=(x-1)\left(x^{104}+x^{103}+x^{102}+\cdots+x+1\right)$

   余因式正是有限等比求和 $\displaystyle\sum_{k=0}^{104}x^{k}$，这也说明了为什么这个恒等式与等比数列求和公式 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1}$（$x\neq1$）是一回事。

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   从裂项相消和数值两方面验证。 乘开后，$x\cdot\sum x^{k}$ 给出次数 $1$ 到 $105$ 的项，$-1\cdot\sum x^{k}$ 给出次数 $0$ 到 $104$ 的项；次数从 $1$ 到 $104$ 的项全部抵消，只剩下 $x^{105}-1$ ✓。在 $x=2,3,5,-2,-3$ 处做精确整数计算，结果也处处吻合 ✓。

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   再借 105 的约数往下推。 因为 $105=3\times5\times7$，这个式子沿每个约数还能继续拆，例如

   $x^{105}-1=\left(x^{5}\right)^{21}-1=\left(x^{5}-1\right)\left(x^{100}+x^{95}+\cdots+1\right)$

   一般地，对 $105$ 的每个约数 $d$，$x^{d}-1$ 都整除 $x^{105}-1$，这些约数是 $1,3,5,7,15,21,35,105$。它在 $\mathbb{Q}$ 上的完全分解，就是分圆多项式 $\Phi_{d}(x)$ 在这八个约数上的乘积。