用区间形式表示 f(x) = x / (x² − 36 的立方根) 的定义域。

Step-by-step solution

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   先想清楚立方根到底限制了什么。 奇次根对每一个实数输入都有定义——$\sqrt[3]{-8} = -2$ 完全合法。所以与平方根不同，$\sqrt[3]{x^2-36}$ 对 $x^2 - 36$ 不提出任何符号要求。把它当成平方根、非要 $x^2 \ge 36$，是这道题最经典的错误。

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   找出分母为零的地方。 真正的限制只有「不能除以零」，而 $\sqrt[3]{A} = 0$ 当且仅当 $A = 0$：

   $x^2 - 36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 6$

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   把这两个点排除掉。 从 $\mathbb{R}$ 中去掉 $-6$ 和 $6$，剩下

   $(-\infty,-6) \cup (-6,6) \cup (6,\infty)$

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   在平方根会失效的地方验一个值。 当 $x = 0$ 时根号内是 $-36$，而 $\sqrt[3]{-36} = -3.301927$，所以 $f(0) = \tfrac{0}{-3.301927} = 0$ —— 有定义。若换成平方根版本的函数，整个 $(-6,6)$ 区间都会被排除掉。

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   再看看排除点附近的走势。 当 $x \to 6^{-}$ 时 $x^2 - 36 \to 0^{-}$，立方根从下方趋于 $0$，于是 $f(x) \to -\infty$；从右侧趋近时则趋于 $+\infty$。两边都是货真价实的竖直渐近线，说明 $x = \pm6$ 必须排除，而不是能补回去的洞。