若 (2, +∞) 是 x² + x − b > 0 的一个解区间，另一个解区间是什么？

Step-by-step solution

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   利用开口向上的抛物线的形状。 由于 $x^2$ 的系数是 $+1$，$y=x^2+x-b$ 的图像开口向上，所以 $y>0$ 出现在两根之外。因此解集形如 $(-\infty,r_1)\cup(r_2,+\infty)$，其中 $r_1<r_2$。

2. 2

   把给定的区间读成一个根。 题目给的区间 $(2,+\infty)$ 只能是右边那一支，所以它的端点 $x=2$ 就是较大的那个根。严格二次不等式解集的端点，恰好就是相应方程的根。

3. 3

   解出 b。 把 $x=2$ 代入 $x^2+x-b=0$：$4+2-b=0$，得 $b=6$。于是不等式就是 $x^2+x-6>0$。

4. 4

   因式分解，找出另一个根。 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$，所以两根是 $-3$ 和 $2$。乘积 $(x+3)(x-2)$ 为正，当且仅当两个因式同号。

5. 5

   写出缺的那一支。 当 $x<-3$ 时两个因式都为负，所以另一个解区间是 $(-\infty,-3)$，完整的解集是 $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$。

6. 6

   在 x = −4 和 x = 0 处做数值检验。 取 $x=-4$：$16-4-6=6>0$，说明 $-4$ 确实在解集里。取 $x=0$（落在两根之间）：$0+0-6=-6<0$，被正确地排除在外。