母函数 f(x) = |x| 向上平移 4 个单位、向右平移 2 个单位。写出平移后新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   从母函数出发。 $f(x)=|x|$ 的图象是一个顶点在原点 $(0,0)$、两边斜率为 $\pm 1$ 的 V 形。这一族里的每一条绝对值图象，都不过是同一个 V 被摆到了别的位置。

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   向右平移 2 个单位。 把自变量 $x$ 换成 $x-2$：

   $f(x-2)=|x-2|$

   减号带来的是向右的平移。有个一眼看穿的办法：拐点出现在括号里为零的地方，而 $x-2=0$ 发生在 $x=2$，正好在原拐点右边两个单位。

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   向上平移 4 个单位。 给整个式子加上 $4$：

   $|x-2|+4$

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   读出一般规律。 结果正好符合标准的顶点式

   $f(x)=|x-h|+k\quad\text{当 } h=2,\;k=4,\quad\text{顶点 }(2,4)$

   即 $h$ 待在绝对值里面、跟着减号，$k$ 待在外面、跟着加号——这一条规律就管住了所有这类题。

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   取点验证。 母函数上的点 $(0,0)$ 应该落到 $(2,4)$：新解析式给出 $|2-2|+4=4\;\checkmark$。母函数上的点 $(-3,3)$ 应该落到 $(-1,7)$：解析式给出 $|-1-2|+4=3+4=7\;\checkmark$。两条边的斜率仍是 $\pm 1$，说明平移只改变位置、从不改变形状。