解方程 25x⁴ + 10x² − 4 = 0。

Step-by-step solution

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   认出这是双二次形式。 式中只出现 $x$ 的偶次幂，所以换元 $u=x^{2}$ 就把四次方程变成了二次方程：$25u^{2}+10u-4=0.$ 这招对任何 $ax^{4}+bx^{2}+c$ 都管用，比一般四次方程的求根公式快得多。

2. 2

   解关于 $u$ 的二次方程。 取 $a=25$，$b=10$，$c=-4$，$u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ 注意 $\sqrt{500}=10\sqrt5$，公因数 $10$ 正好和 $50$ 约掉。

3. 3

   换元还原，一个一个情形来。 由 $u=x^{2}$，每个 $u$ 值给出两个 $x$ 值——但前提是 $u\ge 0$。由于 $\sqrt5=2.2360680$，$u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

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   从正的那个根取出实数解。 $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ 这就是全部实数解，所以这条四次曲线与横轴恰好交两次。

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   从负的那个根取出虚数解。 $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ 开平方前忘了先看 $u$ 的符号，是这里最典型的错误：要么凭空造出两个假的实根，要么丢掉两个复数根。

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   代入验算。 取 $x=0.4972058$：$x^{2}=0.2472136$，$x^{4}=0.06111456$，于是 $25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$。再做一次独立检验：四个根之积应等于 $c/a=-4/25=-0.16$，而 $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$。