求有理数 k，使 −√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3。

Step-by-step solution

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   先把每个根式化成 √3 的倍数。 每个被开方数都是 $3$ 乘一个完全平方数，所以这四项是同类根式——这正是整个和能写成 $k\sqrt3$ 的原因：

   $\sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{108}=6\sqrt3$

2. 2

   代回原式。

   $-\frac{2\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{9}+\frac{5\sqrt3}{15}+6\sqrt3$

3. 3

   把每个系数约简。

   $-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}+6\sqrt3$

   中间两项恰好互为相反数，直接抵消——这是题目有意的设计，也提醒我们先约简再谈通分。

4. 4

   把留下来的项合并。

   $(-1+6)\sqrt3=5\sqrt3$

5. 5

   读出 k。

   $\boxed{k=5}$

6. 6

   做数值验证。 取 $\sqrt3\approx 1.7320508$：$-\tfrac{3.4641}{2}=-1.7321$，$-\tfrac{5.1962}{9}=-0.5774$，$+\tfrac{8.6603}{15}=+0.5774$，$+10.3923$。相加得 $8.6603=5\sqrt3$ ✓。