对 f(x) = 5x^2 - 3x + 9，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   把 x + h 代入函数。 每一个 $x$ 都要替换，包括平方项里的那个：

   $f(x+h) = 5(x+h)^2 - 3(x+h) + 9 = 5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9$

   要把 $(x+h)^2$ 展开成 $x^2 + 2xh + h^2$ 而不是 $x^2 + h^2$ —— 正是这一步产生了 $10xh$ 项。

2. 2

   减去 f(x)。 所有不含 $h$ 的项都必须消掉，这本身就是对展开过程的一道自带检验：

   $f(x+h) - f(x) = \left(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9\right) - \left(5x^2 - 3x + 9\right) = 10xh + 5h^2 - 3h$

   常数 $9$ 和两个只含 $x$ 的项都消失了，这总是会发生的。

3. 3

   从分子里提出 h。

   $10xh + 5h^2 - 3h = h\left(10x + 5h - 3\right)$

4. 4

   把 h 约掉。 之所以合法，是因为题目已经声明 $h \ne 0$：

   $\frac{h\left(10x + 5h - 3\right)}{h} = 10x + 5h - 3$

5. 5

   数值检验，并与导数联系起来。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商 $\tfrac{f(1.37) - f(1.3)}{0.07} = 10.35$，而公式给出 $10(1.3) + 5(0.07) - 3 = 10.35$。令 $h \to 0$ 就剩下 $10x - 3$，这恰好就是 $f'(x)$。