对 x² − 4xy + 4y 因式分解，或说明它为什么在整数范围内分解不了。

Step-by-step solution

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   先找公因式。 三项分别是 $x^2$、$-4xy$ 和 $4y$。第一项不含 $y$，最后一项不含 $x$，所以没有公共的字母因式；而 $x^2$ 里也没有因数 $4$。一点东西都提不出来。

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   试完全平方公式，会发现对不上。 要套 $a^2-2ab+b^2$ 这个式型，最后一项必须是平方。可 $4y$ 不是平方：$y$ 上的指数是奇数。那个熟悉的恒等式适用的是

   $x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$

   而这道题与它的全部差别，就在于最后那个 $y$ 少了一个指数。

3. 3

   把它当成关于 $x$ 的二次式，算判别式。 写成 $x^2-(4y)x+4y$：

   $\Delta=(4y)^2-4(1)(4y)=16y^2-16y=16y(y-1)$

4. 4

   得出结论。 系数是多项式的、关于 $x$ 的二次式能在 $\mathbb{Z}[y]$ 上分解，当且仅当它的判别式是某个多项式的平方。这里 $16y(y-1)$ 是 $16$ 乘上两个互不相同的一次因式，在 $\mathbb{Z}[y]$ 中不是完全平方。所以 $x^2-4xy+4y$ 是不可约的。

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   用部分分组核对一下。 最多也就能写成

   $x^2-4y(x-1)$

   这只是一种合法的改写，不是因式分解，因为剩下的两块之间没有任何公共部分。如果题目本意是 $x^2-4xy+4y^2$，那答案就是 $(x-2y)^2$。