已知 |Z 的共轭 + 4i/Z| = 2√2，求 |Z|。

Step-by-step solution

1. 1

   选用极坐标形式，好把辐角整个提出来。 记 $Z = re^{i\theta}$，其中 $r=|Z|>0$。那么 $\overline{Z} = re^{-i\theta}$，$Z^{-1} = \tfrac1r e^{-i\theta}$ —— 要紧的是，两项都带着同一个因子 $e^{-i\theta}$。

2. 2

   把公共的指数因子提出来。 $\overline{Z}+4iZ^{-1} = e^{-i\theta}\left(r+\frac{4i}{r}\right).$ 因为 $|e^{-i\theta}|=1$，这个模压根不依赖 $\theta$：$\left|\overline{Z}+4iZ^{-1}\right| = \left|r+\frac{4i}{r}\right|.$

3. 3

   把模写成只含 r 的式子。 括号里实部是 $r$、虚部是 $\tfrac4r$，都是实数，所以 $\left|r+\frac{4i}{r}\right| = \sqrt{r^2+\frac{16}{r^2}} = 2\sqrt2.$

4. 4

   两边平方再去分母。 平方得 $r^2+\dfrac{16}{r^2} = 8$；两边乘以 $r^2$（它不为零），得到四次方程 $r^4-8r^2+16 = 0.$

5. 5

   认出这是完全平方。 $r^4-8r^2+16 = (r^2-4)^2$，所以 $(r^2-4)^2=0$ 迫使 $r^2=4$。这里出现的是一个重根而不是两个不同的解 —— 这暗示 $2\sqrt2$ 恰好就是左端能取到的最小值。

6. 6

   取正根并确认。 模是非负的，所以 $r=|Z|=2$。检验：$\sqrt{2^2+\tfrac{16}{4}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$。由均值不等式，$r^2+\tfrac{16}{r^2} \ge 8$，等号只在 $r=2$ 处取到，这正是答案唯一的原因。