解不等式 55(x² − 25) > 35(24² − 25)，给出精确的边界值及其小数近似。

Step-by-step solution

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   先把纯数字的一边算出来。 右边不含未知数，所以在动 $x$ 之前先把它化成一个数：

   $24^{2}=576,\qquad 576-25=551,\qquad 35\times551=19285.$

   不等式变成 $55\left(x^{2}-25\right)>19285$。先做这一步，后面的运算只需要除一次，而不是除好几次。

2. 2

   两边除以正的系数。 因为 $55>0$，两边同除不改变不等号方向：

   $x^{2}-25>\frac{19285}{55}=\frac{3857}{11}.$

   这个分数可以约掉 $5$（$19285=5\times3857$，$55=5\times11$），之后不能再约了，因为 $3857=7\times19\times29$ 与 $11$ 没有公因数。保持精确形式，最终的边界才不会被四舍五入带偏。

3. 3

   把 $x^{2}$ 单独留下。 两边加上 $25=\tfrac{275}{11}$：

   $x^{2}>\frac{3857}{11}+\frac{275}{11}=\frac{4132}{11}\approx375.636.$

4. 4

   解这个平方不等式，两个分支都要写。 对正常数 $c$，$x^{2}>c$ 成立的范围是区间 $\left[-\sqrt c,\sqrt c\right]$ 的外部：

   $x<-\sqrt{\frac{4132}{11}}\quad\text{或}\quad x>\sqrt{\frac{4132}{11}}.$

   只写 $x>\sqrt c$ 会把整个负分支丢掉 —— 这是这类题最常见的错误。

5. 5

   化简根号并检验。 因为 $4132=4\times1033$，把分母有理化得到

   $\sqrt{\frac{4132}{11}}=\frac{2\sqrt{1033}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11363}}{11}\approx19.3813.$

   代入检验：当 $x=19.5$ 时 $55(380.25-25)=19538.75>19285$ ✓；当 $x=19.3$ 时 $55(372.49-25)=19111.95$，不满足 ✓。由对称性，$x=-19.5$ 满足而 $x=-19.3$ 不满足 ✓。