多项式 f(x) 除以 2x^2 - 3x + 4 的余式是 2x + 1。那么 f(x)^3 除以 2x^2 - 3x + 4 的余式是多少？备选：26x - 47、27x - 48、28x - 49、29x - 50、30x - 51。

Step-by-step solution

1. 1

   先把「余式是 2x + 1」这句话写成式子。 存在商式 $q(x)$，使得

   $f(x)=q(x)\left(2x^{2}-3x+4\right)+(2x+1).$

   为了书写方便，记 $D(x)=2x^{2}-3x+4$。

2. 2

   取立方，把所有能被 D 整除的项统统丢掉。 展开 $\left[q D+(2x+1)\right]^{3}$，除了最后一项之外，每一项都至少含一个因子 $D$，做除法时都会消失：

   $\{f(x)\}^{3}\equiv (2x+1)^{3}\pmod{D(x)}.$

   这一步是全题的关键——我们自始至终不需要知道 $q(x)$，甚至不需要知道 $f$ 的次数。

3. 3

   把立方展开。

   $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1.$

4. 4

   除以 D(x)——第一步。 首项相除得 $\dfrac{8x^{3}}{2x^{2}}=4x$：

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1-4x\left(2x^{2}-3x+4\right)=24x^{2}-10x+1.$

5. 5

   除以 D(x)——第二步。 现在 $\dfrac{24x^{2}}{2x^{2}}=12$：

   $24x^{2}-10x+1-12\left(2x^{2}-3x+4\right)=26x-47.$

   次数已经降到 $2$ 以下，除法到此为止。

6. 6

   写出答案并验算。 余式是 $26x-47$，即选项 ①。验算：$(4x+12)\left(2x^{2}-3x+4\right)+26x-47=8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3}$ ✓。