解方程 |x| + |x − 1| = 1。

Step-by-step solution

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   把左边读成一段总距离。 $|x|$ 是 $x$ 到 $0$ 的距离，$|x-1|$ 是 $x$ 到 $1$ 的距离。方程问的是：哪些点到 $0$ 和到 $1$ 的距离之和等于 $1$——而 $1$ 恰好就是这两点之间的间距。

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   分三种情况讨论。 临界点 $0$ 和 $1$ 把数轴分成三段。

   情况 $x<0$： $|x|=-x$、$|x-1|=1-x$，方程变成 $-x+1-x=1$，即 $-2x=0$，得 $x=0$——与 $x<0$ 矛盾。这一段无解。

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   情况 0 ≤ x ≤ 1。 这里 $|x|=x$、$|x-1|=1-x$，于是

   $x+(1-x)=1$

   这是一个恒等式——区间内每一个 $x$ 都成立。所以整个 $[0,1]$ 都是方程的解。

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   情况 x > 1。 这里 $|x|=x$、$|x-1|=x-1$，于是 $x+x-1=1$，即 $2x=2$，得 $x=1$——与 $x>1$ 矛盾。这一段也无解。

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   汇总解集。

   $\boxed{0\le x\le 1,\ \text{即 }x\in[0,1]}$

   答案是一个区间，不是有限的几个数——这一点值得强调，因为大家通常都以为绝对值方程的解一定是孤立的点。

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   检验端点和一个内点。 $x=0$ 时：$0+1=1$ ✓。$x=1$ 时：$1+0=1$ ✓。$x=0.3$ 时：$0.3+0.7=1$ ✓。区间外：$x=2$ 时 $2+1=3\neq 1$ ✗；$x=-1$ 时 $1+2=3\neq 1$ ✗。这也与三角不等式 $|x|+|x-1|\ge|x-(x-1)|=1$ 吻合，而取等号的地方正好就是 $[0,1]$。