解不等式 (x + 1)(x − 4) ≤ 1/4。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到一边。 只有当乘积是与零比较时，因式形式才好直接读结论，而这里右边是 $\tfrac14$ 而不是 $0$——所以左边那个现成的因式分解暂时派不上用场。展开并整理：

   $x^{2}-3x-4\le \frac14\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-\frac{17}{4}\le 0$

2. 2

   去掉分数。 乘上正数 $4$，不等号方向不变：

   $4x^{2}-12x-17\le 0$

3. 3

   用求根公式求两根。

   $x=\frac{12\pm\sqrt{144-4(4)(-17)}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{144+272}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{416}}{8}$

   因为 $416=16\times 26$，所以 $\sqrt{416}=4\sqrt{26}$，于是

   $x=\frac{12\pm 4\sqrt{26}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{26}}{2}$

4. 4

   利用开口方向定解集。 $x^2$ 的系数是 $4>0$，抛物线开口向上，所以它在两根之间才 $\le 0$（含端点，因为不等号不是严格的）：

   $\boxed{\frac{3-\sqrt{26}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{26}}{2}}$

5. 5

   给出小数形式，并取点检验。 由 $\sqrt{26}\approx 5.0990$，这个区间约为 $[-1.0495,\ 4.0495]$。取中点 $x=1.5$ 检验：$(2.5)(-2.5)=-6.25\le 0.25$ ✓。取 $x=5$：$(6)(1)=6>0.25$ ✗，正如预期地落在区间之外。

6. 6

   注意端点与那个「想当然的答案」有多接近。 因式形式很容易诱人答成 $-1\le x\le 4$，可那是 $(x+1)(x-4)\le 0$ 的解。多出来的 $\tfrac14$ 把两个端点各向外推了大约 $0.05$——幅度不大，但精确端点是无理数，不是 $-1$ 和 $4$。