解不等式 x − 1/3 > x + 4。

Step-by-step solution

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   照常把含变量的项归到一边。 两边都恰好有一个系数为 $1$ 的 $x$，所以两边同时减去 $x$：

   $x-\frac{1}{3}-x>x+4-x$

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   注意变量彻底消失了。 两边的 $x$ 项互相抵消，只剩下一个完全不含变量的命题：

   $-\frac{1}{3}>4$

   这并不是走进了死胡同 —— 它就是答案，只不过换了个样子。当变量消失时，留下来的这个数值命题会一次性决定整道题。

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   判断这个剩下来的命题。 $-\tfrac13$ 大于 $4$ 吗？不。$-\tfrac13\approx-0.333$ 是负的，而 $4$ 是正的，所以这个命题是假的。既然它与 $x$ 无关，那它对每一个 $x$ 都同时为假。

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   用空集给出结论。 没有任何实数满足这个不等式，所以

   $\text{解集}=\varnothing$

   取 $200$ 个精确的有理数 $x$ 逐一检验，一个解也没有 ✓ —— 这在意料之中，因为两边只差一个常数。

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   从几何上看看为什么会这样。 直线 $y=x-\tfrac13$ 与 $y=x+4$ 的斜率相同，都是 $1$，所以它们平行、永不相交。左边那条恒定地位于右边那条下方 $4+\tfrac13=\tfrac{13}{3}$ 处，因此永远不可能高过它。要是把不等号反过来写成 $x-\tfrac13<x+4$，剩下的命题 $-\tfrac13<4$ 就是真的，解集也就变成了全体实数。