解方程 |x| + |x − 1| = |x − 2| + |x − 3|。

Step-by-step solution

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   先找出零点，把数轴分段。 每个绝对值都在里面的式子取零处换公式，也就是 $x=0,1,2,3$。这四个点把实数轴切成五段，在每一段上每个绝对值符号都能按确定的符号去掉。

2. 2

   先别急着算，把方程读懂。 左边是 $x$ 到 $0$ 与到 $1$ 的距离之和，右边是它到 $2$ 与到 $3$ 的距离之和。由于 $\{2,3\}$ 这一对整体在 $\{0,1\}$ 的右侧，可以预料解落在中间某处——这个读法同时还预示了解只会有一个。

3. 3

   先处理外侧三段。 当 $x\le 0$：$(-x)+(1-x)=(2-x)+(3-x)$ 化为 $1-2x=5-2x$，矛盾。当 $2\le x\le 3$：$x+(x-1)=(x-2)+(3-x)$ 化为 $2x-1=1$，得 $x=1$，但它不在 $[2,3]$ 里——舍去。当 $x\ge 3$：$2x-1=2x-5$，又是矛盾。

4. 4

   处理 0 ≤ x ≤ 1 这一段。 这里 $|x|=x$、$|x-1|=1-x$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$：

   $x+(1-x)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 1=5-2x\ \Longrightarrow\ x=2,$

   它落在 $[0,1]$ 之外——舍去。一定要把算出的候选值拿回产生它的那个区间去检验，这里正是大多数人翻车的地方。

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   处理 1 ≤ x ≤ 2 这一段。 此时 $|x|=x$、$|x-1|=x-1$、$|x-2|=2-x$、$|x-3|=3-x$：

   $x+(x-1)=(2-x)+(3-x)\ \Longrightarrow\ 2x-1=5-2x\ \Longrightarrow\ 4x=6\ \Longrightarrow\ x=\tfrac32,$

   而 $\tfrac32$ 确实落在 $[1,2]$ 内，所以它被接受。

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   把解代回原方程检验。 当 $x=\tfrac32$：左边是 $\tfrac32+\tfrac12=2$，右边是 $\tfrac12+\tfrac32=2$ ✓。所以唯一解是 $x=\tfrac32$——恰好是那两对点的中点，和一开始用距离的读法所预料的完全一致。