把二次三项式 10x² − 3x − 4 分解成两个一次因式的乘积。

Step-by-step solution

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   先算出 ac 的积。 当二次项系数不是 $1$ 时，直接凑一次因式去试很慢。改成把二次项系数与常数项相乘：

   $a\cdot c=10\cdot(-4)=-40$

   接下来要找两个整数，积为 $-40$，和为一次项系数 $b=-3$。

2. 2

   把这一对数找出来。 积是负的，说明两数异号；而要让和为负，绝对值大的那个必须带负号。把 $40$ 的因数对逐一过一遍——$(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$——最后一对成立：

   $5\cdot(-8)=-40,\qquad 5+(-8)=-3$

3. 3

   用这一对数把中间项拆开。 把 $-3x$ 换成 $5x-8x$（先后顺序无所谓，关键在于随后怎么分组）：

   $10x^2-3x-4=10x^2+5x-8x-4$

4. 4

   两两分组，各自提公因式。

   $(10x^2+5x)+(-8x-4)=5x(2x+1)-4(2x+1)$

   判断拆得对不对，就看两组提完之后剩下的是不是同一个二项式 $2x+1$。如果对不上，要么这对数选错了，要么分组分错了。

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   提出公共的二项式并验算。

   $5x(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(5x-4)$

   展开回去：$(2x+1)(5x-4)=10x^2-8x+5x-4=10x^2-3x-4$，完全吻合。因此方程的根是 $x=-\tfrac12$ 和 $x=\tfrac45$。