已知 A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]，C = [[10,2,2],[2,3,2],[2,19,2]]，求 (A + C)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先相加再平方，不要展开成二项式。 我们很容易顺手写成 $(A+C)^2=A^2+2AC+C^2$，但这个恒等式要求 $AC=CA$，而矩阵一般并不满足交换律。先把两个矩阵加起来就完全绕开了这个陷阱，而且计算量小得多。

2. 2

   按元素相加。 两个矩阵都是 $3\times 3$ 的，所以和有定义：

   $S=A+C=\begin{pmatrix}19&3&3\\3&5&3\\3&37&3\end{pmatrix}$

3. 3

   把平方写成 S·S。 $S^2$ 的每个元素都是 $S$ 的某一行与 $S$ 的某一列的点积。$S$ 的三列分别是 $(19,3,3)$、$(3,5,37)$ 和 $(3,3,3)$。

4. 4

   算第一行。

   $(19,3,3)\cdot(19,3,3)=361+9+9=379$

   $(19,3,3)\cdot(3,5,37)=57+15+111=183$

   $(19,3,3)\cdot(3,3,3)=57+9+9=75$

5. 5

   算第二行和第三行。

   $(3,5,3)\cdot(19,3,3)=57+15+9=81,\quad (3,5,3)\cdot(3,5,37)=9+25+111=145,\quad (3,5,3)\cdot(3,3,3)=33$

   $(3,37,3)\cdot(19,3,3)=57+111+9=177,\quad (3,37,3)\cdot(3,5,37)=9+185+111=305,\quad (3,37,3)\cdot(3,3,3)=129$

6. 6

   把结果拼起来。

   $\boxed{(A+C)^{2}=\begin{pmatrix}379&183&75\\81&145&33\\177&305&129\end{pmatrix}}$

7. 7

   用第三列快速验算。 $S$ 第三列的每个元素都等于 $3$，所以 $S^2$ 的第三列必然是 $3\times$（$S$ 的各行行和）：行和依次是 $25$、$11$、$43$，得到 $75$、$33$、$129$ —— 与算出来的结果一致，说明前面的算术没错。