分解因式 x¹⁰⁵ + 1。

Step-by-step solution

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   先看指数的奇偶性。 形如 $x^{n}+1$ 的和式在整数范围内以 $(x+1)$ 为因式，当且仅当 $n$ 是奇数。用因式定理直接验证：代入 $x=-1$ 得

   $(-1)^{105}+1=-1+1=0\ \checkmark$

   因为 $105$ 是奇数。所以 $x+1$ 整除 $x^{105}+1$，没有余数。

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   套用奇次幂和的公式。 取 $a=x$、$b=1$、$n=105$：

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   $b=1$ 的各次幂都等于 $1$，所以另一个因式塌缩成只含 $x$ 的、正负交替的幂之和。

3. 3

   写出分解式。

   $x^{105}+1=(x+1)\left(x^{104}-x^{103}+x^{102}-\cdots-x+1\right)$

   第二个因式共 $105$ 项，次数从 $104$ 一路降到 $0$，符号正负交替。因为最高次 $104$ 是偶数，首项符号为 $+$；又因为项数是奇数，常数项同样是 $+1$。

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   代数值检验。 在 $x=2,3,5,-2,-3$ 处用精确整数运算算两边，每次都相等 ✓。次数也对得上：$1+104=105$ ✓。

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   注意这还不是最彻底的分解。 因为 $105=3\times5\times7$，沿着每个因数都还能继续拆。例如 $x^{105}+1=\left(x^{35}\right)^{3}+1$ 也可以分解成 $\left(x^{35}+1\right)\left(x^{70}-x^{35}+1\right)$。在 $\mathbb{Q}$ 上彻底分解时，$x^{105}+1$ 会拆成一串分圆多项式 $\Phi_{d}(x)$ 之积，其中 $d$ 取遍 $210$ 的、但不整除 $105$ 的那些因数——上面 $(x+1)$ 这一步只是最先、也最实用的一次拆分。