已知一元二次不等式 ax^2 + bx + 1 > 0 的解集是区间 -1 < x < 2，求 ab 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先由解集的形状确定 $a$ 的符号。 抛物线只有在开口向下时，才会在两根之间取正值。本题的解集是有界区间 $(-1,2)$，也就是说该式恰好在两个数之间为正，所以

   $a<0,$

   并且 $x=-1$ 与 $x=2$ 必是方程 $ax^{2}+bx+1=0$ 的两个根（在端点处，严格不等号恰好不成立）。

2. 2

   由两根反推二次式。 以 $-1$ 和 $2$ 为根的二次式都是 $(x+1)(x-2)$ 的倍数，所以

   $ax^{2}+bx+1=k(x+1)(x-2)=k\left(x^{2}-x-2\right)=kx^{2}-kx-2k$

   其中 $k<0$（$k$ 的符号就是 $a$ 的符号）。

3. 3

   用常数项定出 $k$。 这一步是本题能解出来的关键：题目给的二次式常数项恰好是 $1$，这就消掉了那个自由的比例因子。比较常数项，

   $-2k=1\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2},$

   它确实满足 $k<0$，与第一步的结论一致。

4. 4

   读出 $a$ 与 $b$。 把 $k=-\tfrac12$ 代回：

   $ax^{2}+bx+1=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+1\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2},\ \ b=\frac{1}{2}.$

5. 5

   求 $ab$ 并回代验证原不等式。

   $ab=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}.$

   检验：$-\tfrac12x^{2}+\tfrac12x+1>0$ 两边同乘 $-2$（不等号反向）等价于 $x^{2}-x-2<0$，即 $(x+1)(x-2)<0$，其解集恰好是 $-1<x<2$。代几个数也能确认：$x=0$ 时该式为 $1>0$；在两个端点 $x=-1$ 与 $x=2$ 处为 $0$（注意这两个端点并不是一对 $\pm$ 相反数）；$x=3$ 时为 $-2<0$。