解不等式 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h。

Step-by-step solution

1. 1

   放心地去分母。 对任何实数 $h$ 都有 $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$，所以两边同乘它不会改变不等号方向：

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   再两边减去 $h$，把 $0.9$ 单独留下：

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   先把 h ≤ 0 直接排除掉。 括号里恒有 $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$，所以若 $h \le 0$，右边就 $\le 0$，而左边是 $0.9 > 0$。任何非正的 $h$ 都不可能满足，讨论范围缩小到 $h > 0$。

3. 3

   在两边都为正的前提下平方。 当 $h > 0$ 时，两边同除以 $h$ 再加 $1$：

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   此时两边都为正，所以平方是等价变形，而不是单向推出：

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   把 h 的负次幂清掉，得到一个四次不等式。 两边减 $1$，再同乘 $h^2 > 0$：

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   求这个四次函数唯一的正根。 在 $h > 0$ 上，$g'(h) = 4h^3 - 1.8$ 只在 $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$ 处为零，所以 $g$ 先降后升；又 $g(0) = -0.81 < 0$，故正根恰有一个。从 $h_0 = 1.34$ 出发用牛顿法迭代，得

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{（40 位精度下）})$

   网上常见的 $1.35082$ 是错的：在那里 $g = +0.0881$，离零差得远。

6. 6

   写出解集并检验。 当 $h > h_*$ 时 $g > 0$，所以

   $h > 1.3397213599\ldots$

   直接代回原不等式可以确认这个分界：$h = 1.339$ 时左边减右边是 $+0.00075$（不成立），$h = 1.3398$ 时是 $-0.000082$（成立），$h = 1.35$ 时是 $-0.0107$（成立）。取近似值，答案就是 $h > 1.3397$。