因式分解 x² + x − 6。

Step-by-step solution

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   先把要找的东西写清楚。 对首项系数为 1 的二次式 $x^{2}+bx+c$，分解形式是 $(x+m)(x+n)$，其中 $mn=c$、$m+n=b$。这里 $c=-6$、$b=+1$，所以要找两个数，积为 $-6$、和为 $1$。

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   用符号缩小搜索范围。 积是负的，说明这两个数异号。和是一个不大的正数，说明正的那个绝对值更大——而且正好大 $1$。

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   逐一试 $-6$ 的异号因数对。

   $(1,-6)\to-5,\quad(6,-1)\to5,\quad(2,-3)\to-1,\quad(3,-2)\to1\ \checkmark$

   $3$ 和 $-2$ 这一对成立：$3\times(-2)=-6$ ✓，$3+(-2)=1$ ✓。

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   写出分解结果。

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

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   展开验证。 $(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$ ✓，并在 $-30$ 到 $29$ 的每个整数上验证一致 ✓。判别式 $1+24=25=5^{2}$ 是完全平方数，这一点事先就能保证存在整数分解。

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   顺带读出根和正负号情况。 零点是 $x=-3$ 与 $x=2$。抛物线开口向上，所以 $x^{2}+x-6<0$ 恰好发生在 $(-3,2)$ 上，区间外都为正。顶点在两根的中点 $x=-\tfrac12$ 处，此时取值 $\tfrac14-\tfrac12-6=-\tfrac{25}{4}$——这就是最小值。