解方程 x² − 4x + 3 = 0。

Step-by-step solution

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   先试因式分解，再考虑求根公式。 对于二次项系数为 1 的二次式，要找两个数，它们的积等于常数项 $3$、和等于中间项系数 $-4$。符号本身就框定了搜索范围：积为正而和为负，说明两个数都是负的。

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   找出这一对数。 $3$ 唯一的负因数对是 $(-1,-3)$，而它正好合用：

   $(-1)(-3)=3\ \checkmark\qquad -1+(-3)=-4\ \checkmark$

   于是

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

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   用「乘积为零」法则。 两个实数的乘积为零，只可能是至少有一个因式为零：

   $(x-1)(x-3)=0\qquad\Longrightarrow\qquad x-1=0\ \text{ 或 }\ x-3=0$

   这一步只有在右边是 $0$ 时才成立——这也正是为什么第一步要先把所有项都移到同一边。

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   分别解两个因式。

   $x=1\qquad\text{或}\qquad x=3$

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   验算两个根。 $x=1$ 时：$1-4+3=0$ ✓。$x=3$ 时：$9-12+3=0$ ✓。韦达定理也对得上：两根之和为 $4=-b/a$，两根之积为 $3=c/a$ ✓。

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   顺便看看图象。 抛物线开口向上，在 $1$ 和 $3$ 处穿过横轴，所以顶点在两根中点 $x=2$ 处，此时 $y=4-8+3=-1$——这就是最小值。由此也能看出 $x^2-4x+3<0$ 的解集恰好是 $(1,3)$。