(x⁴ + 5x³ − 3x − 15) 除以 (x³ − 3) 的商是一个多项式，求这个商。

Step-by-step solution

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   动手之前先比次数。 被除式是 $4$ 次，除式是 $3$ 次，所以商的次数一定是 $4-3=1$。凡是 $7$ 次的答案（那是把除法误做成乘法才会出现的）都可以立刻排除。

2. 2

   首项相除。 $\frac{x^4}{x^3}=x$，所以商的第一项是 $x$。乘回去得 $x(x^3-3)=x^4-3x$。

3. 3

   相减并落下后面的项。 $(x^4+5x^3+0x^2-3x-15)-(x^4-3x)=5x^3+0x^2+0x-15$。两个 $-3x$ 恰好抵消，这就提示我们这次除法会除尽。

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   再除一次。 $\frac{5x^3}{x^3}=5$，且 $5(x^3-3)=5x^3-15$。相减后剩下 $0$，所以余式为零，商就是 $x+5$。

5. 5

   用分组分解法确认。 $x^4+5x^3-3x-15=x^3(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x^3-3)$。约去公因式 $x^3-3$ 就直接得到商 $x+5$，与长除法结果一致。

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   在 x = 2 处做数值检验。 被除式的值是 $16+40-6-15=35$，除式的值是 $8-3=5$；$35\div 5=7$，而商 $x+5$ 在 $x=2$ 处也等于 $7$。