解方程 x^√(log x) = 10^125，其中 log 表示以 10 为底的对数。

Step-by-step solution

1. 1

   先换元，让两边都变成 10 的幂。 麻烦之处在于 $x$ 既出现在底数上，又出现在指数里。令

   $y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad x=10^{y}$

   底数就换成了 $10$ 的幂，指数换成了 $\sqrt{y}$，和右边的形式对上了。

2. 2

   用换元结果重写方程，再用幂的幂法则。

   $\left(10^{y}\right)^{\sqrt{y}}=10^{125}\quad\Longrightarrow\quad 10^{\,y\sqrt{y}}=10^{125}$

3. 3

   让两边的指数相等。 因为 $t\mapsto 10^{t}$ 是一一对应的，指数必须相等：

   $y\sqrt{y}=125\quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=125$

   注意 $y\sqrt y=y^{1}\cdot y^{1/2}=y^{3/2}$；另外为了让 $\sqrt{\log x}$ 有意义，必须要求 $y\ge0$。

4. 4

   解这个分数指数方程。 两边同时取 $\tfrac23$ 次幂，它正是 $\tfrac32$ 的倒数：

   $y=125^{2/3}=\left(5^{3}\right)^{2/3}=5^{2}=25$

5. 5

   把换元还原回去。 由 $y=\log x=25$ 得

   $x=10^{25}$

6. 6

   把答案代回原方程检验。 当 $x=10^{25}$ 时 $\log x=25$，$\sqrt{\log x}=5$，于是左边是 $\left(10^{25}\right)^{5}=10^{125}$ —— 与右边完全一致。指数上的算术 $25\times5=125$ 就是整个验算。