5x² − 2x + 1 在实数范围内能因式分解吗？

Step-by-step solution

1. 1

   把「能否分解」转化成「有没有实根」。 一个二次式能分解成实系数的一次因式 $a(x-r_{1})(x-r_{2})$，当且仅当它有实根 $r_{1},r_{2}$。所以整个问题由判别式一锤定音，根本不用去凑因数对试来试去。

2. 2

   算判别式。 取 $a=5$、$b=-2$、$c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(5)(1)=4-20=-16$

3. 3

   看符号说明什么。 $\Delta=-16<0$，所以求根公式里会出现 $\sqrt{-16}$，而它不是实数。因此没有实根，也就不存在分解成实系数一次因式的写法：

   $5x^{2}-2x+1\ \text{ 不可约于实数域 }\mathbb{R}$

4. 4

   用配方法再确认一遍。 把 $x$ 的项里的 $5$ 提出来，$-\tfrac25$ 的一半是 $-\tfrac15$：

   $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}-5\cdot\tfrac1{25}+1=5\left(x-\tfrac15\right)^{2}+\tfrac45$

   最小值是 $\tfrac45>0$，所以这条抛物线根本碰不到 $x$ 轴——这是同一结论的另一条独立证明。

5. 5

   顺带在 $\mathbb{C}$ 上分解。 由 $5\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac45$ 得 $\left(x-\tfrac15\right)^{2}=-\tfrac4{25}$，所以

   $x=\frac{1\pm2i}{5}$

   于是 $5x^{2}-2x+1=5\left(x-\frac{1+2i}{5}\right)\left(x-\frac{1-2i}{5}\right)$。求根公式也给出同样结果：$x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{10}=\frac{2\pm4i}{10}=\frac{1\pm2i}{5}$ ✓ —— 一对共轭根，实系数多项式总是如此。