在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (m, n)，其中 m 与 n 满足 (m² + n² + 1)(m² + n² + 3) = 8。求线段 OP 的长度。

Step-by-step solution

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   先把要求的量和已知式子挂上钩。 点 $P(m,n)$ 到原点的距离是

   $OP=\sqrt{m^2+n^2}$

   所以整道题归结为求 $m^2+n^2$ 这一个数，$m$ 和 $n$ 各自等于多少根本不必知道。

2. 2

   用换元把两个未知数藏起来。 令

   $t=m^2+n^2$

   由于 $m$、$n$ 都是实数，两个平方都非负，这就带来一个必须一路保留到最后的约束：

   $t\ge 0$

3. 3

   展开并解关于 $t$ 的二次方程。

   $(t+1)(t+3)=8$

   $t^2+4t+3=8$

   $t^2+4t-5=0$

   $(t+5)(t-1)=0\ \Longrightarrow\ t=-5\ \text{或}\ t=1$

4. 4

   把违反约束的那个根舍掉。 两个实数的平方和不可能等于 $-5$，所以 $t=-5$ 被排除，于是

   $m^2+n^2=1$

   这正是 $\sqrt5$（或 $1$）这个诱人答案之所以是陷阱的原因：它保留了一个被换元自身取值范围所禁止的根。

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   算出 $OP$ 并验证。

   $OP=\sqrt{1}=1$

   代回条件检验：若 $t=1$，则 $(1+1)(1+3)=2\times 4=8$ $\checkmark$。从几何上看，$P$ 可以落在单位圆上的任意位置——例如 $(1,0)$ 或 $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$——而这些点到原点的距离都是 $1$。