求 f(x) = 6/(x − 15) + 6/(x + 12) 的定义域，用区间表示答案。

Step-by-step solution

1. 1

   先想清楚哪里会出问题。 这个式子是两个分式相加，既没有根号也没有对数，唯一的限制就是分母不能为零。两个分母要分开检查——只要其中一个变成零，整个函数就没有定义。

2. 2

   分别令每个分母等于零。

   $x - 15 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 15, \qquad x + 12 = 0 \ \Longrightarrow\ x = -12$

3. 3

   别急着先通分。 通分后得到 $\dfrac{6(x+12) + 6(x-15)}{(x-15)(x+12)} = \dfrac{12x - 18}{(x-15)(x+12)}$。合并后的分母零点还是这两个，所以这里没有区别——但万一分子里有因式把其中一个零点约掉了，原来的函数在那一点照样没有定义。限制永远要从原式上读。

4. 4

   把这两个点从实数轴上去掉。 从 $\mathbb{R}$ 中挖掉 $-12$ 和 $15$，剩下三个开区间，从左到右依次是：

   $(-\infty,\, -12) \cup (-12,\, 15) \cup (15,\, \infty)$

5. 5

   在每个区间里各取一个值验算。 当 $x = -20$：$\tfrac{6}{-35} + \tfrac{6}{-8} = -0.9214$，有定义。当 $x = 0$：$\tfrac{6}{-15} + \tfrac{6}{12} = 0.1$，有定义。当 $x = 20$：$\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{32} = 1.3875$，有定义。而在 $x = 15$ 和 $x = -12$ 处，函数有竖直渐近线。