展开并合并同类项：((a1(x − y) + b1)(x − y) + (a2 y + b2) y) / x。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出这是嵌套（秦九韶 / Horner）形式。 每一半都长成 $(\text{系数}\cdot t+\text{常数})\cdot t$ 的样子，这是为了少做几次乘法而写出的二次式：前一半里 $t=x-y$，后一半里 $t=y$。一层一层往外拆，比一口气全展开要稳妥。

2. 2

   把每一半拆成各自变量的二次式。

   $\left(a_1(x-y)+b_1\right)(x-y)=a_1(x-y)^2+b_1(x-y)$

   $\left(a_2y+b_2\right)y=a_2y^2+b_2y$

   于是分子是 $a_1(x-y)^2+b_1(x-y)+a_2y^2+b_2y$。

3. 3

   展开那个平方和那个一次括号。 用 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$：

   $a_1(x-y)^2=a_1x^2-2a_1xy+a_1y^2,\qquad b_1(x-y)=b_1x-b_1y$

   括号里每一项都要乘上系数，包括最容易漏掉的那个中间项 $-2a_1xy$。

4. 4

   把两半之间的同类项合并。 只有 $y^2$ 项和 $y$ 项能并到一起：

   $a_1y^2+a_2y^2=(a_1+a_2)y^2,\qquad -b_1y+b_2y=(b_2-b_1)y$

   于是分子变成

   $a_1x^2-2a_1xy+(a_1+a_2)y^2+b_1x+(b_2-b_1)y$

5. 5

   如果要完全拆开，就逐项除以 x。 在 $x\neq 0$ 的前提下，

   $a_1x-2a_1y+\frac{(a_1+a_2)y^2}{x}+b_1+\frac{(b_2-b_1)y}{x}$

   只有含 $x$ 的那几项能约掉；$y^2$ 项和 $y$ 项的分母上仍留着 $x$，所以这个形式并不是多项式。

6. 6

   代数字检验。 取 $a_1=1,b_1=2,a_2=3,b_2=4,x=5,y=1$。原分子：$(1\cdot 4+2)\cdot 4+(3+4)\cdot 1=24+7=31$。合并后的形式：$25-10+4\cdot 1+10+2\cdot 1=31$ ✓。再除以 $x=5$，两条路都得 $6.2$。