化简 (x + 4)² - (x² + 8x + 16)。

Step-by-step solution

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   用完全平方公式把平方展开。 在恒等式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 中取 $a=x$，$b=4$，得

   $(x+4)^{2}=x^{2}+2(x)(4)+4^{2}=x^{2}+8x+16.$

   中间项是 $2\cdot x\cdot 4=8x$，不是 $4x$ —— 漏掉那个因数 $2$ 是这里最常见的展开错误。

2. 2

   注意括号里就是同一个三项式。 现在式子写成

   $\left(x^{2}+8x+16\right)-\left(x^{2}+8x+16\right),$

   也就是一个量减去它自己。一眼看出这点比硬算要快，而且还没动笔就知道了答案：这道题其实是在问 $x^{2}+8x+16$ 是不是 $(x+4)^{2}$ 的展开式。

3. 3

   把减号分配到括号里的每一项。 为稳妥起见写全：

   $x^{2}+8x+16-x^{2}-8x-16.$

   括号里三项的符号全部要变。只改第一项——这是很常见的手误——就会剩下 $16x+32$ 而不是 $0$。

4. 4

   合并同类项。 按次数分组：

   $(x^{2}-x^{2})+(8x-8x)+(16-16)=0+0+0=0.$

   整个式子化简为常数 $0$。

5. 5

   解读这个结果。 对每一个实数 $x$ 取值都是 $0$，所以这是一个恒等式，不是待解的方程。取 $x=3$ 验算：$(3+4)^{2}=49$，$9+24+16=49$，差为 $0$ ✓；取 $x=-1$：$9$ 与 $1-8+16=9$，差为 $0$ ✓。两个检验值都对上是理所当然的——这两个式子本来就是同一个多项式。