解方程 |2x + 3| = 6x。

Step-by-step solution

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   第一步先把非负条件摆出来。 左边是绝对值，永远不会是负数，所以右边必须满足

   $6x\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad x\ge0$

   这个约束不是可有可无的形式记录 —— 正是它让两种情形之一变得不可能；漏掉它就会多出一个假答案。

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   情形 1：绝对值里面非负，即 2x + 3 ≥ 0。 此时 $|2x+3|=2x+3$，于是

   $2x+3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad 3=4x\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac34$

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   拿两个条件同时检验这个候选值。 绝对值内部：$2\left(\tfrac34\right)+3=\tfrac92\ge0$ ✓，与本情形的假设一致。全局条件：$x=\tfrac34\ge0$ ✓。所以 $x=\tfrac34$ 是真解。

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   情形 2：绝对值里面为负，即 2x + 3 < 0。 此时 $|2x+3|=-(2x+3)$，于是

   $-2x-3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad -3=8x\qquad\Longrightarrow\qquad x=-\frac38$

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   第二个候选值要被否掉，而且是两重否掉。 它违反全局条件 $x\ge0$，因为 $-\tfrac38<0$；它也违反自己所在情形的前提：$2\left(-\tfrac38\right)+3=\tfrac94>0$，并不是负数。直接代入更直观：$\left|2\left(-\tfrac38\right)+3\right|=\tfrac94$，而 $6\left(-\tfrac38\right)=-\tfrac94$，$\tfrac94\neq-\tfrac94$。它是增根。

6. 6

   写出答案并验算。 唯一的解是

   $x=\frac34$

   验算：$\left|2\left(\tfrac34\right)+3\right|=\left|\tfrac92\right|=\tfrac92$，而 $6\left(\tfrac34\right)=\tfrac92$ ✓。在 $[-3,3]$ 上取 $6001$ 个精确有理点逐一扫描，也只找到 $\tfrac34$ 这一个解 ✓。