解方程 √(x√x) = 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   把嵌套根号化成单个幂。 用 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 和同底数幂相乘的法则：

   $x\sqrt x=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}$

   于是方程就是 $x^{3/4}=2x$。

2. 2

   确定定义域。 里层的 $\sqrt{x}$ 和外层的根号都要求 $x\ge 0$，那么右边的 $2x$ 也必然 $\ge 0$——彼此一致。所以只需在 $[0,\infty)$ 上找解。

3. 3

   在约分之前先单独处理 $x=0$。 当 $x=0$ 时左边是 $\sqrt{0}=0$，右边也是 $0$，所以 $x=0$ 是一个解。下一步要除以 $x$ 的某个幂，那会把它抹掉——这正是要先检验它的原因。

4. 4

   对 $x>0$ 除以 $x^{3/4}$ 再求解。

   $1=2x^{1-3/4}=2x^{1/4}\quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$

5. 5

   把两个解都代回原方程检验。 当 $x=\tfrac1{16}$：$\sqrt{x}=\tfrac14$，于是 $x\sqrt x=\tfrac1{16}\cdot\tfrac14=\tfrac1{64}$，$\sqrt{\tfrac1{64}}=\tfrac18$；而 $2x=\tfrac18$ $\checkmark$。当 $x=0$：$0=0$ $\checkmark$。由于 $x$ 很大时 $x^{3/4}$ 的增长慢于 $2x$，两条曲线不可能再有别的交点。