用区间表示函数 f(x) = √(4x − 12) 的定义域。

Step-by-step solution

1. 1

   写出平方根为实数的条件。 偶次根式只有在被开方数非负时才是实数：

   $4x - 12 \ge 0$

   这里没有分母，所以这是唯一的限制。

2. 2

   解这个不等式。 两边加 $12$，再同除以正数 $4$，不等号方向保持不变：

   $4x \ge 12 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 3$

3. 3

   判断端点算不算在内。 在 $x = 3$ 处被开方数是 $0$，而 $\sqrt0 = 0$ 是完全有定义的，所以 $3$ 属于定义域。这就是左端要写成闭的原因。

4. 4

   写成区间形式。

   $[3,\ \infty)$

   右端永远用小括号：$\infty$ 不是一个能真正取到的数。

5. 5

   在两侧各抽查一下。 取 $x = 3$：$f(3) = \sqrt0 = 0$。取 $x = 7$：$f(7) = \sqrt{16} = 4$。取 $x = 2$：被开方数是 $-4$，$f(2)$ 不是实数——正好落在定义域之外，符合预期。