函数 f(x) = |x - 5| 向左平移 4 个单位，写出平移后的新函数。

Step-by-step solution

1. 1

   回忆水平平移的规则，以及它为什么看着是反的。 要把图像向左平移 $h$ 个单位，就把 $x$ 换成 $x+h$；向右平移则把 $x$ 换成 $x-h$。原因在于：新函数必须更早地取到某个输出值，也就是在更小的 $x$ 处取到，所以自变量得先往前推一把。

2. 2

   先找到现在的顶点。 $\left|x-5\right|$ 在 $x=5$ 处为零，所以这个 V 形的顶点在 $(5,0)$。盯住这一个点，是检验任何平移最快的办法。

3. 3

   做代换 $x\mapsto x+4$。

   $f(x+4)=\left|(x+4)-5\right|=\left|x-1\right|$

   绝对值内部的两个常数合并了：$+4-5=-1$。

4. 4

   检查顶点是不是往对的方向挪了。 新函数 $\left|x-1\right|$ 的顶点在 $(1,0)$，而 $5-4=1$ ✓——正好向左四个单位，符合要求。要是错用成 $x-4$，结果会是 $\left|x-9\right|$，顶点跑到 $9$，反而向右挪了四个单位。

5. 5

   确认别的东西都没变。 图像仍是斜率为 $\pm1$ 的 V 形，也依旧不会跌到 $x$ 轴下方，因为改动的只是水平位置。举个例子，$f(0)$ 从 $5$ 变成了 $1$，而这个新值正好等于旧函数在 $0+4=4$ 处的取值，即 $\left|4-5\right|=1$ ✓。