在方程组 y = 2x^2 - 21x + 64 与 y = 3x + a 中，a 是常数，两个方程的图像恰好只交于一点 (x, y)。求 x 的值。

Step-by-step solution

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   把「只有一个交点」这个条件化成一个方程。 一个点同时在两条曲线上，当且仅当两个 $y$ 的表达式相等，于是令它们相等：

   $2x^2-21x+64=3x+a$

   每个交点都对应这个方程的一个解，反之亦然。

2. 2

   把所有项移到一边。 合并同类项后得到标准形式的二次方程：

   $2x^2-21x-3x+64-a=0$

   $2x^2-24x+(64-a)=0$

   未知常数 $a$ 只出现在常数项里——正是这个观察让本题变得很短。

3. 3

   把「恰好一个交点」翻译成「恰好一个根」。 二次方程有且只有一个实根，当且仅当它的判别式为零：

   $\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4(2)(64-a)=0$

   从几何上看，这说的就是直线与抛物线相切，而不是穿过它两次或完全不相交。

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   用一个捷径：重根就落在二次函数的顶点处。 当 $\Delta=0$ 时，两个根重合于它们的平均值 $x=-\dfrac{b}{2a}$。这里 $b=-24$，首项系数是 $2$，所以

   $x=\frac{24}{2\cdot 2}=6$

   注意 $a$ 从头到尾都没有参与这个计算：它只平移常数项，并不改变对称轴的位置。这也正是题目可以在不告诉你 $a$ 的情况下问 $x$ 的原因。

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   如果想把相切看得更清楚，可以顺便求出 $a$。 解 $\Delta=0$：

   $576-8(64-a)=0\;\Longrightarrow\;576-512+8a=0\;\Longrightarrow\;a=-8$

   此时二次方程变成 $2x^2-24x+72=2(x-6)^2=0$，重根 $x=6$ 得到确认。

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   验证交点确实唯一。 当 $x=6$ 时，抛物线给出 $2(36)-21(6)+64=72-126+64=10$，直线给出 $3(6)-8=10$。两条曲线都经过 $(6,10)$；又因为判别式为零，它们不会在别处相交：

   $\boxed{x=6}$