关系式 y = a·x^b 不是线性的。把它化成线性形式 Y = mX + c，并写出 Y、X、m 和 c 分别是什么。

Step-by-step solution

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   先看清那个待定常数长在哪儿。 这里 $b$ 是变量 $x$ 头上的指数，而不是常数的指数。这个区别决定了变换方式：幂律需要对两边取对数，而且两个变量都要取；相比之下，指数律 $y=ab^{x}$ 只需对 $y$ 取对数。

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   两边取对数。

   $\log y=\log\!\left(a\,x^{b}\right)$

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   把乘积拆开。 由 $\log(MN)=\log M+\log N$：

   $\log y=\log a+\log\!\left(x^{b}\right)$

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   把指数拿下来。 由 $\log(x^{b})=b\log x$：

   $\log y=b\log x+\log a$

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   与 $Y=mX+c$ 逐项对应。

   $\underbrace{\log y}_{Y}=\underbrace{b}_{m}\underbrace{\log x}_{X}+\underbrace{\log a}_{c}$

   以 $\log y$ 对 $\log x$ 作图——也就是双对数图——会得到一条直线，它的斜率就是指数 $b$，截距则是 $\log a$。

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   代数字验证。 取 $a=3,b=2,x=4$，则 $y=3\cdot 16=48$。于是 $\log_{10}48=1.6812$，而 $b\log_{10}4+\log_{10}3=2(0.6021)+0.4771=1.6812$ ✓。反过来求常数：$b=m$，$a=10^{c}$。