要配制 20 升 35% 的酒精溶液，需要把 20% 的酒精溶液和 50% 的酒精溶液各取多少升混合？

Step-by-step solution

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   先给两个未知量起名字。 设从 $20\%$ 的溶液中取 $x$ 升，从 $50\%$ 的溶液中取 $y$ 升。有两个未知量，就需要两个相互独立的方程——一个来自总体积，一个来自纯酒精的量。

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   方程一：总体积。 两部分加起来必须等于所需的 $20$ 升：

   $x+y=20.$

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   方程二：纯酒精守恒。 这是所有混合问题的核心思路：混合后溶液里的酒精，等于每种原料带进来的酒精之和。目标溶液含纯酒精 $0.35\times 20=7$ 升，而两种原料分别贡献 $0.20x$ 和 $0.50y$：

   $0.20x+0.50y=7.$

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   用代入法解这个方程组。 由第一个方程得 $x=20-y$，代入第二个方程：

   $0.20(20-y)+0.50y=7\ \Longrightarrow\ 4+0.30y=7\ \Longrightarrow\ 0.30y=3\ \Longrightarrow\ y=10.$

   再回代得 $x=20-10=10$。

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   回到题目原话检验结果。 $20\%$ 的溶液提供 $0.20\times 10=2$ 升纯酒精，$50\%$ 的溶液提供 $0.50\times 10=5$ 升，合计 $7$ 升，而混合液一共 $20$ 升，即 $\frac{7}{20}=35\%$。正确。

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   再用「取中点」的口诀验一遍。 $35\%$ 恰好落在 $20\%$ 与 $50\%$ 的正中间，所以两种溶液必然等量。如果目标浓度不在正中间，混合比就会偏向浓度更接近它的那一种——这是在相信代数结果之前，快速发现符号错或算错的好办法。