分解轮换式 (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   动手展开之前，先用试根法。 令 $a=b$。第三项因为带着因式 $(a-b)$ 而消失，前两项则变成

   $(b-c)(b+c)^4+(c-b)(c+b)^4=0$

   也就是说，只要 $a=b$ 整个式子就为零，这说明 $(a-b)$ 是它的一个因式。由轮换对称性，$b=c$ 与 $c=a$ 同理成立，所以乘积 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 整除原式。

2. 2

   数一数次数，预判余因式的形状。 每一项都是 $5$ 次，而 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 是 $3$ 次，所以剩下的因式是一个 $2$ 次齐次对称多项式：

   $Q=\alpha\left(a^2+b^2+c^2\right)+\beta(ab+bc+ca)$

   只剩两个待定系数，因此代两组数就足以定下整个分解式。

3. 3

   代值定出 $\alpha$ 与 $\beta$。 取 $(a,b,c)=(-7,-3,0)$，原式等于 $-23436$，而 $(a-b)(b-c)(c-a)=(-4)(-3)(7)=84$，于是 $Q=-279$；此时 $a^2+b^2+c^2=58$，$ab+bc+ca=21$：

   $58\alpha+21\beta=-279$

   再取 $(a,b,c)=(-1,-7,2)$，同样的算法给出 $54\alpha-9\beta=-117$。解这个方程组得到

   $\alpha=-3,\qquad \beta=-5$

4. 4

   写出分解结果。 把负号提到最前面：

   $(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4=-(a-b)(b-c)(c-a)\Big[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+5(ab+bc+ca)\Big]$

5. 5

   与展开式对照验证。 用 $(x-y)(x+y)^4=x^5+3x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3-3xy^4-y^5$ 把每一项展开再轮换求和，得到

   $3\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)+2\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)-2\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)-3\left(ab^4+bc^4+ca^4\right)$

   其中五次幂项全部抵消。用 $500$ 组随机有理数三元组把分解式与这个展开式逐一比对，没有出现任何偏差 $\checkmark$；再取 $(a,b,c)=(-5,-2,-8)$ 做第三次检验，两边都得到 $-32886$。