方程 y 等于 p 乘以根号 x 加上 q 除以根号 x，它不是线性的。把它改写成线性形式。

Step-by-step solution

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   先弄清「线性形式」到底要什么。 目标是得到一个 $Y=mX+c$ 形式的方程，其中 $Y$ 与 $X$ 是由 $x$、$y$ 组合出来的表达式，而未知常数 $p$、$q$ 只作为斜率和截距出现。这样一来，把实验数据的 $Y$ 对 $X$ 作图，就能从这条直线上读出 $p$ 和 $q$。

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   看清是什么挡住了这个形式。 按现在的写法，右边同时含有 $\sqrt{x}$ 和 $x^{-1/2}$。两个不同次幂之和，无论 $X$ 怎么取都不可能是线性的，所以必须先改写方程，然后才谈得上换变量名。

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   两边同乘 $\sqrt{x}$。 为使 $\sqrt{x}$ 有定义且不为零，本来就要求 $x>0$，所以这一步是合法的：

   $y\sqrt{x}=p\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+\frac{q}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}=px+q$

   两个碍事的半次幂同时消失了：一个变成 $x$，另一个变成常数。

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   给新变量命名，并读出两个常数。 令

   $Y=y\sqrt{x},\qquad X=x$

   关系式就是 $Y=pX+q$：一条直线，斜率是 $p$，纵截距是 $q$。

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   代具体数字检验。 取 $p=2$、$q=3$、$x=4$。原方程给出 $y=2(2)+\tfrac{3}{2}=5.5$，于是 $Y=y\sqrt{x}=5.5\times 2=11$。而线性形式预测 $pX+q=2(4)+3=11$——完全一致，说明这个变形真的保持了原有关系，而不只是看上去更整齐。