用 2x + 3 去除 2x² + 2x + 1，求商和余式。

Step-by-step solution

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   先摆好竖式。 $2x^2+2x+1$ 里 $x$ 的各次幂都齐全，不用补零占位。除式 $2x+3$ 的首项系数不是 $1$，所以商的系数出现分数是很正常的。

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   第一轮。 $\dfrac{2x^2}{2x}=x$。乘回去：$x(2x+3)=2x^2+3x$。相减：$(2x^2+2x+1)-(2x^2+3x)=-x+1.$

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   第二轮。 $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$。乘回去：$-\tfrac12(2x+3)=-x-\tfrac32$。相减：$(-x+1)-\left(-x-\frac32\right)=1+\frac32=\frac52.$

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   在该停的地方停下。 剩下的 $\tfrac52$ 是 $0$ 次的，低于 $2x+3$ 的次数，所以除法到此结束：商为 $x-\tfrac12$，余式为 $\tfrac52$。

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   验算。 $\left(x-\frac12\right)(2x+3)+\frac52=2x^2+3x-x-\frac32+\frac52=2x^2+2x+1.$ 注意商和上一道题相同，余式却不同——只改动除式里的常数项，变的只是最后剩下的那一点。