求 4x = 3x² − 7x + 9 的解，答案保留三位有效数字。

Step-by-step solution

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   把所有项归到平方项系数为正的那一边。 两边同减 $4x$，让方程写成 $=0$ 且首项系数为正：

   $0=3x^{2}-7x-4x+9\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-11x+9=0.$

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   动公式之前先看能不能因式分解。 那需要两个整数，乘积是 $3\cdot 9=27$，和是 $-11$；可能的组合是 $(-1,-27)$ 和 $(-3,-9)$，和分别为 $-28$ 和 $-12$。都不合，说明两根是无理数，求根公式才是对的工具。

3. 3

   认清系数，先算判别式。 取 $a=3$，$b=-11$，$c=9$，

   $b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4(3)(9)=121-108=13.$

   因为 $13>0$，有两个不相等的实根；又因为 $13$ 不是完全平方数，两根是无理数 —— 这与题目要求取近似值正好对应。

4. 4

   代入求根公式。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}.$

5. 5

   算出数值，保留三位有效数字。 由 $\sqrt{13}=3.605551\ldots$，

   $x=\frac{11+3.605551}{6}=2.434258\ldots\approx 2.43,\qquad x=\frac{11-3.605551}{6}=1.232408\ldots\approx 1.23.$

   只在最后这一步取近似 —— 提前把 $\sqrt{13}$ 四舍五入，可能会把第三位有效数字带偏。

6. 6

   用精确根验证。 韦达定理给出 $x_1+x_2=\tfrac{11}{3}\approx 3.6667$，$x_1x_2=\tfrac{9}{3}=3$；算出来的两个值之和是 $3.66666$……，也就是 $\tfrac{22}{6}$，确实有 $2.434258+1.232408=3.666666=\tfrac{11}{3}$，与 $-b/a$ 相符。两根之积是 $2.434258\times 1.232408=3.0000$，与 $c/a=3$ 相符。