已知 (18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn，求 P。

Step-by-step solution

1. 1

   注意 $P$ 是减数，先把它解出来。 由 $A-P=B$ 可得 $P=A-B$，而不是 $B-A$：

   $P=\left(18m^2n-2mn^2+15mn\right)-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)$

   方向搞反会得到正确答案的相反数，这是这类题里最常见的错误。

2. 2

   把负号分配到第二个多项式的每一项上。 三个符号全部变号：

   $-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)=-6m^2n+5mn^2+12mn$

3. 3

   按类别合并同类项。 这里一共有三类项：$m^2n$、$mn^2$ 和 $mn$：

   $m^2n:\;18-6=12,\qquad mn^2:\;-2+5=3,\qquad mn:\;15+12=27$

4. 4

   写出结果。

   $P=12m^2n+3mn^2+27mn=3mn\left(4m+n+9\right)$

   后一种形式来自三项共有的公因式 $3mn$。

5. 5

   代数验算。 取 $m=1$、$n=2$。第一个多项式的值是 $18(2)-2(4)+15(2)=36-8+30=58$，而

   $P=12(1)(2)+3(1)(4)+27(2)=24+12+54=90$

   （分解后的形式也一致：$3mn(4m+n+9)=3\cdot 2\cdot 15=90$）。于是左边是 $58-90=-32$，右边是 $6(2)-5(4)-12(2)=12-20-24=-32\;\checkmark$。