解方程 x = 0.4 × 200 + 0.4x，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把数值乘积算出来。 $0.4\times200=80$，于是

   $x=80+0.4x$

   现在未知数在等号两边都出现了，这也是全题唯一真正的难点。

2. 2

   想清楚为什么不能直接除。 把方程读成 $x=80/0.4=200$，就等于无视了右边的 $0.4x$。由于 $x$ 的定义里有一部分是它自己，所以必须先把含 $x$ 的项归并起来，才能做任何除法。

3. 3

   把 0.4x 移到左边。 两边同减 $0.4x$，再提公因式：

   $x-0.4x=80\qquad\Longrightarrow\qquad (1-0.4)x=80\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x=80$

   真正起作用的系数是 $1-0.4=0.6$，而不是 $0.4$。

4. 4

   除以 0.6。

   $x=\frac{80}{0.6}=\frac{800}{6}=\frac{400}{3}=133.\overline{3}\approx133.33$

   小数是循环的，所以精确分数 $\tfrac{400}{3}$ 是更干净的答案。

5. 5

   和同类的几道题对照。 方程 $x=c\cdot200+cx$ 的通解是 $x=\dfrac{200c}{1-c}$：$c=0.3$ 时得 $\tfrac{600}{7}\approx85.71$，$c=0.35$ 时得 $\tfrac{1400}{13}\approx107.69$，$c=0.4$ 时得 $\tfrac{400}{3}\approx133.33$。当 $c$ 越靠近 $1$，增长越快，而到了那里方程根本无解。

6. 6

   代入验算。 取 $x=\tfrac{400}{3}$：右边是 $80+0.4\cdot\tfrac{400}{3}=80+\tfrac{160}{3}=\tfrac{240+160}{3}=\tfrac{400}{3}$ ✓，用精确分数运算与左边完全一致。