解方程 |x + 66| = |x − 88|。

Step-by-step solution

1. 1

   把两边各自读成一段距离。 $|x+66|=|x-(-66)|$ 是 $x$ 到 $-66$ 的距离，$|x-88|$ 是 $x$ 到 $88$ 的距离。所以这个方程说的是：$x$ 到 $-66$ 与到 $88$ 一样远。

2. 2

   用中点这个捷径。 数轴上与两个不同点距离相等的点只有一个，就是它们的中点：

   $x=\frac{-66+88}{2}=\frac{22}{2}=11$

   这一行就替代了通常那套分两种情形的代数运算。

3. 3

   用代数方法交叉验证。 去掉绝对值得到两种情形。情形一：$x+66=x-88$，化简成 $66=-88$——不可能，所以这一支无解（只要两个绝对值里 $x$ 的系数相同，就一定是这个结果）。情形二：$x+66=-(x-88)=-x+88$，得 $2x=22$，$x=11$ ✓——和上面同一个答案。

4. 4

   想清楚为什么有一种情形塌掉了。 两个式子里 $x$ 的系数都是 $+1$，所以让它们相等时变量被完全消掉，只剩一个不成立的数字等式。只有变号那一种情形才可能给出解——这也正是答案只有一个点而不是两个点的原因。

5. 5

   代入验算。

   $|11+66|=|77|=77,\qquad |11-88|=|-77|=77$

   两边都等于 $77$ ✓。在 $[-200,200]$ 上取 $40{,}001$ 个精确有理点扫一遍，$x=11$ 是唯一解 ✓；而 $11$ 到 $-66$ 和到 $88$ 的距离确实都是 $77$ ✓。