分解并化简代数式 (x + 7)^(1/3) − (x + 7)^(4/3)。

Step-by-step solution

1. 1

   公因式按较小的指数来取。 两项都是同一个底数 $x+7$ 的幂，所以最大公因式就是这个底数取较小的那个指数，因为 $\tfrac13<\tfrac43$。提出 $(x+7)^{1/3}$ 之后，剩下的就是整数次幂的运算了。

2. 2

   用公因式去除每一项。 利用 $\frac{u^{m}}{u^{n}}=u^{m-n}$：第一项得到 $(x+7)^{1/3-1/3}=1$，第二项得到 $(x+7)^{4/3-1/3}=(x+7)^{1}=x+7$。于是 $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=(x+7)^{1/3}\bigl[1-(x+7)\bigr].$

3. 3

   化简括号。 $1-(x+7)=1-x-7=-x-6=-(x+6).$

4. 4

   写出整理后的结果。 把负号移到最前面， $(x+7)^{1/3}-(x+7)^{4/3}=-(x+6)(x+7)^{1/3}.$

5. 5

   代一个数值检验。 取 $x=1$，原式是 $8^{1/3}-8^{4/3}=2-16=-14$，分解式给出 $-(7)\cdot 8^{1/3}=-7\cdot 2=-14$，两者一致。