解 0.2 = 4.6092x^3 + 9.2964x^2 + 2.7507x + 0.0251，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到一边。 两边同减 $0.2$：

   $f(x)=4.6092x^{3}+9.2964x^{2}+2.7507x-0.1749=0$

   我们要找的就是 $f$ 的零点。除常数项外系数全为正，所以由笛卡尔符号法则可知，正实根恰有一个。

2. 2

   用一个变号的区间把根夹住。 仔细求值：

   $f(0)=-0.1749,\qquad f(0.05)=-0.0135,\qquad f(0.06)=+0.0246$

   符号在 $0.05$ 与 $0.06$ 之间翻转，所以根就落在那里。这几个试探值的每一位都要紧 —— 一旦 $f(0.06)$ 算错，区间就会夹到错误的地方，然后给出一个看着很有底气的错答案。

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   把那个决定性试探点的算术再核一遍。 取 $x=0.06$：$4.6092(0.000216)=0.000996$，$9.2964(0.0036)=0.033467$，$2.7507(0.06)=0.165042$。求和再减去常数：$0.199505-0.1749=+0.024605$。是正的，确认区间 $[0.05,0.06]$。

4. 4

   用牛顿迭代法细化。 取 $f'(x)=13.8276x^{2}+18.5928x+2.7507$、$x_{0}=0.055$，依次迭代得 $0.0536168$、$0.0536118$、$0.0536118$ —— 已收敛到小数后七位：

   $x\approx 0.0536118$

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   验证这个根，并交代另外两个根。 $f(0.0536118)=0.0000002$ ✓。这个三次方程的另外两个根 $x\approx-0.43195$ 与 $x\approx-1.63858$ 都是负数；若这个变量代表某个物理量，一般要舍去，于是答案就是 $x\approx 0.0536$。