设 x、y 为正实数且 x + y = 1，下列哪些说法正确？A：xy 的最小值是 1/4。B：1/x + 1/y 的最小值是 4。C：x² + y² 的最小值是 1/2。D：√x + √y 的最大值是 2。

Step-by-step solution

1. 1

   先把自由度降到一个。 由 $x+y=1$ 且两者都为正，可设 $x=t$、$y=1-t$，其中 $0<t<1$。下面每个量都只是 $t$ 的函数；由对称性，极值一般出现在 $t=\tfrac12$ 处，或者出现在 $t\to 0^{+}$、$t\to 1^{-}$ 这两个端点极限上。

2. 2

   A 错——1/4 是 xy 的最大值。 由基本不等式，$xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}=\dfrac14$，等号在 $x=y=\tfrac12$ 时取到。而当 $t\to 0^{+}$ 时 $xy=t(1-t)\to 0$，所以 $xy$ 没有正的最小值，它的下确界是 $0$。错误。

3. 3

   B 对。 由于 $x+y=1$，

   $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{xy}$

   而上一步已得 $xy\le\tfrac14$，所以 $\dfrac{1}{xy}\ge 4$，等号在 $x=y=\tfrac12$ 时取到。正确。

4. 4

   C 对。 利用 $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ 以及 $xy\le\tfrac14$，

   $x^{2}+y^{2}\ge 1-2\left(\frac14\right)=\frac12$

   等号同样在 $x=y=\tfrac12$ 时取到。正确。

5. 5

   D 错——最大值是 √2，不是 2。 两边平方，

   $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^{2}=x+y+2\sqrt{xy}=1+2\sqrt{xy}\le 1+2\left(\frac12\right)=2$

   所以 $\sqrt x+\sqrt y\le\sqrt2\approx 1.414$，在 $x=y=\tfrac12$ 处取到。$2$ 这个值永远够不着。错误。

6. 6

   下结论并抽查。

   $\boxed{\text{B 和 C}}$

   取 $x=y=\tfrac12$：$xy=0.25$，$\tfrac1x+\tfrac1y=4$，$x^{2}+y^{2}=0.5$，$\sqrt x+\sqrt y=1.414$。取 $x=0.1$、$y=0.9$：$xy=0.09$，$\tfrac1x+\tfrac1y=11.11>4$，$x^{2}+y^{2}=0.82>0.5$，$\sqrt x+\sqrt y=1.265<1.414$ —— 上面每一条论断的表现都与所说的一致。