求矩阵 A（三行依次为 (1, 3, 2)、(2, −1, −3)、(1, 1, 0)）与矩阵 B（三行依次为 (−3, 2, 4)、(1, 0, 2)、(0, 2, 3)）的乘积 AB。

Step-by-step solution

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   先核对形状，定下计算法则。 $A$ 是 $3\times 3$，$B$ 也是 $3\times 3$，内侧维数相同，所以 $AB$ 是 $3\times 3$ 的。第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积：

   $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.$

   把同一位置的元素直接相乘是最经典的错误 —— 那不是矩阵乘法。

2. 2

   算乘积的第 1 行。 $A$ 的第 $1$ 行是 $(1,3,2)$：

   $(1)(-3)+(3)(1)+(2)(0)=0,$
   $(1)(2)+(3)(0)+(2)(2)=6,$
   $(1)(4)+(3)(2)+(2)(3)=16.$

3. 3

   算第 2 行。 $A$ 的第 $2$ 行是 $(2,-1,-3)$：

   $(2)(-3)+(-1)(1)+(-3)(0)=-7,$
   $(2)(2)+(-1)(0)+(-3)(2)=-2,$
   $(2)(4)+(-1)(2)+(-3)(3)=-3.$

4. 4

   算第 3 行。 $A$ 的第 $3$ 行是 $(1,1,0)$，末位是 $0$，所以 $B$ 最底下那一行的元素在这一行里完全不起作用：

   $(1)(-3)+(1)(1)+(0)(0)=-2,$
   $(1)(2)+(1)(0)+(0)(2)=2,$
   $(1)(4)+(1)(2)+(0)(3)=6.$

5. 5

   把乘积拼起来。

   $AB=\begin{pmatrix}0&6&16\\ -7&-2&-3\\ -2&2&6\end{pmatrix}.$

6. 6

   用一个列向量抽查。 用 $B$ 乘 $(1,0,0)^{T}$ 会取出它的第一列 $(-3,1,0)^{T}$；再算 $A(-3,1,0)^{T}=(-3+3+0,\ -6-1+0,\ -3+1+0)^{T}=(0,-7,-2)^{T}$，这恰好就是 $AB$ 的第一列 ✓。另外别忘了矩阵乘法不满足交换律：$BA$ 是另一个矩阵。