一个长方体的体积是 x³ 减 3x² 加 5x 减 3，底面积是 x² 减 2。因为体积等于底面积乘高，那么这个长方体的高是多少？

Step-by-step solution

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   把几何关系变成一次除法。 由 $V=A\cdot h$ 得

   $h=\frac{V}{A}=\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x^2-2}$

   除式是二次的，综合除法用不上——这里必须老老实实做多项式长除法。

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   第一步除：让最高次项对上。 $x^3\div x^2=x$，所以商的第一项是 $x$。相乘再相减：

   $x(x^2-2)=x^3-2x$
   $(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$

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   第二步除。 $-3x^2\div x^2=-3$，所以商的下一项是 $-3$。相乘再相减：

   $-3(x^2-2)=-3x^2+6$
   $(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$

   余式 $7x-9$ 是 $1$ 次的，低于除式的 $2$ 次，除法到此为止。

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   把高写成“商加上余式比除式”。

   $h=x-3+\frac{7x-9}{x^2-2}$

   由于余式不是零多项式，这个高是一个分式，而不是多项式——本题给的这几个数就是除不尽。

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   乘回去验证。 重新把 $A\cdot h$ 拼起来，应该还原成 $V$：

   $(x^2-2)(x-3)+(7x-9)=x^3-3x^2-2x+6+7x-9=x^3-3x^2+5x-3\ \checkmark$

   在 $x=5$ 处两边都等于 $72$，数值上也印证了这个恒等式。

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   再取一个好算的值抽查高。 在 $x=2$ 处：$V=8-12+10-3=3$，$A=4-2=2$，所以真实的高是 $\tfrac32$。而公式给出

   $(2-3)+\frac{14-9}{4-2}=-1+2.5=1.5\ \checkmark$