把 4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3 分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出二次部分里藏着的完全平方。 二次项是 $4x^2 + 4xy + y^2$，取 $a = 2x$、$b = y$ 时它正好符合 $a^2 + 2ab + b^2$：

   $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$

   只要一个二元式的最高次部分是完全平方，就值得看看剩下的部分能不能凑上同一个整体。

2. 2

   检查一次部分是不是同一个整体的倍数。

   $-4x - 2y = -2(2x + y)$

   确实是——所以整个式子对 $x$ 和 $y$ 的依赖，只通过 $2x + y$ 这一个组合体现出来。

3. 3

   换成单个变量。 令 $u = 2x + y$，式子就变成一个普通的二次式：

   $u^2 - 2u - 3$

4. 4

   分解这个二次式。 乘积为 $-3$、和为 $-2$ 的两个数是 $-3$ 和 $1$：

   $u^2 - 2u - 3 = (u - 3)(u + 1)$

5. 5

   换回原来的变量。

   $(2x + y - 3)(2x + y + 1)$

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   展开验算。 $(2x+y-3)(2x+y+1) = (2x+y)^2 + (2x+y) - 3(2x+y) - 3 = (2x+y)^2 - 2(2x+y) - 3$，也就是 $4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3$。在 $(x,y) = (1, 2)$ 处做数值抽查，两种形式都给出 $5$。（不要取直线 $2x+y=3$ 上的点：那里两个式子都为零，验算不起作用。）